プリズム

に対して、点数式投票ルールの1つとして、ボルダルールが知られている。各投票者は一番好きな候補者に$p-1$点、その次に好きな候補者に$p-2$点、・・・、一番嫌いな候補者に$0$点、という点数を与える。各候補者はすべての投票者から与えられた点数を合計する。最大の合計点数を得た候補者がボルダルールの勝者、最小の合計点数を得た候補者がボルダルールの敗者である。すなわち、次の$\mathrm{BordaScore}$を最大にする候補者$x\in A$が勝者、最小にする候補者$x\in A$が敗者である。

$$\mathrm{BordaScore}(u;x)=\sum _{k\in A}{\mathrm{rank}}_k(u;x)s_k$$

ただし、$s_k=p-k$、${\mathrm{rank}}_k(u;x)$は$x\in A$を第$k$番目に好む投票者の人数を意味する。また、$u=(u_1,\dots ,u_n)$は投票者の選好を表し、$u_j(x)>u_j(y)$は投票者$j\in N$が$y\in A$より$x\in A$を好んでいることを意味する。

結論を先に述べる。

$\mathrm{BordaScore}$は投票行列$v=(v_{xy}(u))$の行和である

この結論は以下に述べる「補題3」から得られる。まず、新たに次の記号を導入する。

$$\begin{array}{rcl}{\mathrm{rank}}_k(j,u;x)& =& \{\begin{array}{cc}1& \mathrm{投}\mathrm{票}\mathrm{者}j\mathrm{が}x\mathrm{を}\mathrm{第}k\mathrm{番}\mathrm{目}\mathrm{に}\mathrm{好}\mathrm{む}\mathrm{時}\\ 0& \mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}\end{array}\\ I_j(x,y)& =& \{\begin{array}{cc}1& u_j(x)>u_j(y)\\ 0& \mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e}\end{array}\end{array}$$

補題1

$$\begin{array}{rcl}{\mathrm{rank}}_k(u;x)& =& \sum _{j\in N}{\mathrm{rank}}_k(j,u;x)\\ v_{xy}(u)& =& \sum _{j\in N}{I}_j(x,y)\end{array}$$

証明

${\mathrm{rank}}_k(u;x)$は$x\in A$を第$k$番目に好む投票者の人数であり、各投票者$j\in N$に$x$を第$k$番目に好むかを問い、答えが「はい」のプレイヤーだけを数えればよい。同様に、$v_{xy}(u)$は$y\in A$より$x\in A$を好んでいる投票者の人数であり、各投票者$j\in N$に$y$より$x$を好むかを問い、答えが「はい」のプレイヤーだけを数えればよい。（証明終わり）

補題2

$$\sum _{y:y\in A,y\ne x}{I}_j(x,y)=\sum _{k\in A}{\mathrm{rank}}_k(j,u;x)\left(p–k\right)$$

証明

左辺は投票者$j$が$x$よりも好まない候補者の人数である。投票者$j$が$x$を第$k$番目に好んでいれば、$x$よりも好まない候補者の人数は$p-k$となる。（証明終わり）

補題3

$$\sum _{y:y\in A,y\ne x}{v}_{xy}(u)=\sum _{k\in A}{\mathrm{rank}}_k(u;x)(p-k)$$

証明

補題1と2より

$$\begin{array}{rcl}\sum _{y:y\in A,y\ne x}{v}_{xy}(u)& =& \sum _{y:y\in A,y\ne x}\left(\sum _{j\in N}{I}_j(x,y)\right)\\ & =& \sum _{j\in N}\left(\sum _{y:y\in A,y\ne x}{I}_j(x,y)\right)\\ & =& \sum _{j\in N}\left(\sum _{k\in A}{\mathrm{rank}}_k(j,u;x)(p-k)\right)\\ & =& \sum _{k\in A}\left(\sum _{j\in N}{\mathrm{rank}}_k(j,u;x)\right)(p-k)\\ & =& \sum _{k\in A}{\mathrm{rank}}_k(u;x)(p-k)\end{array}$$

（証明終わり）