「公平のあり方」においては結果だけを述べたが、ここでは証明を述べる。
正比例に近い整数による配分問題$\left( A; \left( d_1,\ldots, d_n \right) \right)$の解であるAdams法、Dean法、Hill法、Webster法、Jefferson法は、まとめて、除数法と呼ばれる。除数法$f$による正比例に近い整数による配分問題$\left( A; \left( d_1,\ldots, d_n \right) \right)$の解を$f \left( A; \left( d_1,\ldots, d_n \right) \right) = \left( a_1, \ldots, a_n \right)$とする。この資源の配分が要求量に正確に正比例している場合（$\frac{a_1}{d_1} = \cdots = \frac{a_n}{d_n}$）は殆どないだろう。すなわち、誰かが誰かよりも有利である。すなわち、2人のプレイヤー$i$と$j$に対して、$\frac{a_i}{d_i} > \frac{a_j}{d_j}$ならば、単位要求量当たりの資源配分量が、プレイヤー$i$の方がプレイヤー$j$よりも大きいので、（1）プレイヤー$i$がプレイヤー$j$よりも有利である。この時、プレイヤー$i$へ配分された資源の中から1個だけプレイヤー$j$に譲渡したら、（2）プレイヤー$j$の方がプレイヤー$i$よりも有利になるだろう。さて、各除数法に有利なプレイヤーと不利なプレイヤー間の不平等さを測る量、（$f$に依存した）不平等量（と呼ぼう）があるとしよう。（2）の状況の不平等量と（1）の状況の不平等量を比べて、前者が後者以上であれば、（2）への譲渡は正当化されない。これが解$f$の不平等量による特徴付けである。
まず、各除数法の不平等量と、証明の時に利用するために、優先度を下記の表にまとめる。例えば、$\mathrm{IE}_\mathrm{A} \left( x_1, x_2 \right)$はAdams法の有利なプレイヤー（資源配分量は$x_1$で要求量は$d_1$）と不利なプレイヤー（資源配分量は$x_2$で要求量$d_2$）の不平等量である。$1$と$2$は全てのプレイヤーの中からの2人の代表であり、実際のプレイヤー$1$と$2$ではない。$\mathrm{P}_\mathrm{A} \left( d, a \right)$は要求量が$d$で、現在の資源の配分量が$a$個であるプレイヤーの優先度である。
| 方法 | 不平等量 | 優先度 |
|---|---|---|
| Adams法 | $\mathrm{IE}_\mathrm{A} \left( x_1, x_2 \right) = x_1 – x_2 \left( \frac{d_1}{d_2} \right)$ | $\mathrm{P}_\mathrm{A} \left ( d, a \right) = \frac{d}{a}$ |
| Dean法 | $\mathrm{IE}_\mathrm{D} \left( x_1, x_2 \right) = \frac{d_2}{x_2} – \frac{d_1}{x_1}$ | $\mathrm{P}_\mathrm{D} \left ( d, a \right) = \frac{d}{\frac{2a(a+1)}{2a+1}}$ |
| Hill法 | $\mathrm{IE}_\mathrm{H} \left( x_1, x_2 \right) = \frac{\frac{x_1}{d_1}}{\frac{x_2}{d_2}} – 1 = \frac{\frac{d_2}{x_2}}{\frac{d_1}{x_1}} – 1$ | $\mathrm{P}_\mathrm{H} \left ( d, a \right) = \frac{d}{\sqrt{a(a+1)}}$ |
| Webster法 | $\mathrm{IE}_\mathrm{W} \left( x_1, x_2 \right) = \frac{x_1}{d_1} – \frac{x_2}{d_2}$ | $\mathrm{P}_\mathrm{W} \left ( d, a \right) = \frac{d}{a + \frac{1}{2}}$ |
| Jefferson法 | $\mathrm{IE}_\mathrm{J} \left( x_1, x_2 \right) = x_1 \left( \frac{d_2}{d_1} \right) – x_2$ | $\mathrm{P}_\mathrm{J} \left ( d, a \right) = \frac{d}{a + 1}$ |
不平等量の意味を述べる。$\mathrm{IE}_\mathrm{W}$は$\frac{a}{d}$の絶対差、$\mathrm{IE}_\mathrm{D}$は逆数の絶対差、$\mathrm{IE}_\mathrm{H}$は$\frac{a}{d}$の相対差、または、逆数の相対差である。$\mathrm{IE}_\mathrm{A}$は$\mathrm{IE}_\mathrm{W}$の$d_1$倍、$\mathrm{IE}_\mathrm{J}$は$\mathrm{IE}_\mathrm{W}$の$d_2$倍である。ここで、$y$と$z$の絶対差は$y-z$、相対差は$\frac{y-z}{z}$である。
先に結論を述べる。
不平等量による特徴付け
$f$を除数法とする。この時、次の（ア）と（イ）は同値である。
（ア）$f \left( A; \left( d_1, \ldots, d_n \right) \right) = \left( a_1, \ldots, a_n \right)$
（イ）$\left( a_1, \ldots, a_n \right), a_1 + \cdots + a_n = A$に対して、次の（i）と（ii）が成り立つ。
（i）（状況1）「プレイヤー$i$がプレイヤー$j$よりも有利である、すなわち、$\frac{a_i}{d_i} > \frac{a_j}{d_j}$である」ならば、（状況2）「プレイヤー$i$からプレイヤー$j$へ資源を$1$個譲渡すると、その結果プレイヤー$j$がプレイヤー$i$よりも有利になる。」
（ii）更に、（状況1）における$f$の不平等量は（状況2）における$f$の不平等量よりも小さいか等しい。
ただし、$f$は$\mathrm{A,D,H,W,J}$のいずれかであり、$\mathrm{A,D,H}$の場合は、$a_i \gt 1, a_j \gt 0$とする。
この結論は以下に述べる「補題2」、「補題3」、「補題4」から容易に導かれる。また、上記の「不平等量による特徴付け」の最後の行にある制限「$a_i \gt 1, a_j \gt 0$」に関する注意事項（適切に解釈すれば、制限なく適用できる）はここを参照せよ。
補題1
プレイヤー$i$と$j$に、各々、$a_i$個と$a_j$個が配分されているとする。この時、「プレイヤー$i$がプレイヤー$j$よりも有利である、すなわち、$\frac{a_i}{d_i} > \frac{a_j}{d_j}$である。」ことと「$\mathrm{IE}_f \left( a_i, a_j \right) \gt 0$」は同値である。ただし、$f$は$\mathrm{A,D,H,W,J}$のいずれかであり、$\mathrm{D}$の場合は、$a_i \gt 0, a_j \gt 0$とし、$\mathrm{H}$の場合は、$a_j \gt 0$とする。
証明
\[ \begin{eqnarray} \mathrm{IE}_{\mathrm{A}} \left( a_i, a_j \right) &=& d_i \left( \frac{a_i}{d_i} – \frac{a_j}{d_j} \right) \\ \mathrm{IE}_{\mathrm{D}} \left( a_i, a_j \right) &=& \frac{d_i d_j}{a_i a_j} \left( \frac{a_i}{d_i} – \frac{a_j}{d_j} \right) \\ \mathrm{IE}_{\mathrm{H}} \left( a_i, a_j \right) &=& \frac{d_j}{a_j} \left( \frac{a_i}{d_i} – \frac{a_j}{d_j} \right) \\ \mathrm{IE}_{\mathrm{W}} \left( a_i, a_j \right) &=& \frac{a_i}{d_i} – \frac{a_j}{d_j} \\ \mathrm{IE}_{\mathrm{J}} \left( a_i, a_j \right) &=& d_j \left( \frac{a_i}{d_i} – \frac{a_j}{d_j} \right) \\ \end{eqnarray} \]（証明終わり）
補題2
プレイヤー$i$と$j$に、各々、$a_i$個と$a_j$個が配分されているとする。この時、次の（ア）と（イ）は同値である。
（ア）$\mathrm{IE}_f \left( a_j + 1, a_i -1 \right) – \mathrm{IE}_f \left( a_i, a_j \right) \ge 0$
（イ）次の（i）と（ii）が成り立つ。
（i）（状況1）「プレイヤー$i$がプレイヤー$j$よりも有利である、すなわち、$\frac{a_i}{d_i} > \frac{a_j}{d_j}$である」ならば、（状況2）「プレイヤー$i$からプレイヤー$j$へ資源を$1$個譲渡すると、その結果プレイヤー$j$がプレイヤー$i$よりも有利になる。」
（ii）更に、（状況1）における$f$の不平等量は（状況2）における$f$の不平等量よりも小さいか等しい。
ただし、$f$は$\mathrm{A,D,H,W,J}$のいずれかであり、$\mathrm{D,H}$の場合は、$a_i \gt 1, a_j \gt 0$とする。
証明
（ア）->（i）：（状況1）と補題1により、$\mathrm{IE}_f \left( a_i, a_j \right) \gt 0$である。これと仮定（ア）より$\mathrm{IE}_f \left( a_j + 1, a_i -1 \right) \gt 0$となる。また、補題1を適用して、資源を$j+1$個配分されているプレイヤー$j$は資源を$i-1$個配分されているプレイヤー$i$よりも有利、すなわち、$\frac{a_j + 1}{d_j} > \frac{a_i – 1}{d_i}$である。
（ア）->（ii）：仮定（ア）「$\mathrm{IE}_f \left( a_j + 1, a_i -1 \right) – \mathrm{IE}_f \left( a_i, a_j \right) \ge 0$」より明らかである。
（イ）->（ア）：$\mathrm{IE}_f \left( a_i, a_j \right) \gt 0$ならば、補題1より「プレイヤー$i$よりプレイヤー$j$よりも有利になり」、（ii）より、$\mathrm{IE}_f \left( a_j + 1, a_i – 1 \right) \ge \mathrm{IE}_f \left( a_i, a_j \right)$、すなわち、 （ア）が成り立つ。$\mathrm{IE}_f \left( a_i, a_j \right) \le 0$ならば、補題1より$\frac{a_i}{d_i} \le \frac{a_j}{d_j}$である。これより、$\frac{a_i – 1}{d_i} \lt \frac{a_j + 1}{d_j}$となり、また補題1より$\mathrm{IE}_f \left( a_j + 1, a_i – 1 \right) \gt 0$となる。従って、$\mathrm{IE}_f \left( a_j + 1, a_i – 1 \right) \gt 0 \ge \mathrm{IE}_f \left( a_i , a_j \right)$、すなわち、（ア）が成り立つ。（証明終わり）
補題3
$f$を除数法とする。$\mathrm{IE}_f \left( a_j + 1, a_i -1 \right) – \mathrm{IE}_f \left( a_i, a_j \right)$と$\mathrm{P}_f \left( d_i, a_i – 1 \right) – \mathrm{P}_f \left( d_j, a_j \right)$は同じ符号を持つ。また、一方が$0$ならば、他方も$0$である。ただし、$f$が$\mathrm{A,D,H}$の場合は、$a_i \gt 1, a_j \gt 0$とする。
詳しくは次が成り立つ：
- Adams法 \[ \mathrm{IE}_\mathrm{A} \left( a_j + 1, a_i -1 \right) – \mathrm{IE}_\mathrm{A} \left( a_i, a_j \right) = \left( d_i + d_j \right) \left( \frac{1}{\mathrm{P}_\mathrm{A} \left( d_j, a_j \right)} – \frac{1}{\mathrm{P}_\mathrm{A} \left( d_i, a_i – 1 \right)} \right) \]
- Dean法 \[ \mathrm{IE}_\mathrm{D} \left( a_j + 1, a_i -1 \right) – \mathrm{IE}_\mathrm{D} \left( a_i, a_j \right) = 2 \left( \mathrm{P}_\mathrm{D} \left( d_i, a_i – 1 \right) – \mathrm{P}_\mathrm{D} \left( d_j, a_j \right) \right) \]
- Hill法 \[ \mathrm{IE}_\mathrm{H} \left( a_j + 1, a_i -1 \right) – \mathrm{IE}_\mathrm{H} \left( a_i, a_j \right) = \frac{a_i \left( a_j + 1 \right)}{d_i d_j} \left( \left( \mathrm{P}_\mathrm{H} \left( d_i, a_i – 1 \right) \right)^2 – \left( \mathrm{P}_\mathrm{H} \left( d_j, a_j \right) \right)^2 \right) \]
- Webster法 \[ \mathrm{IE}_\mathrm{W} \left( a_j + 1, a_i -1 \right) – \mathrm{IE}_\mathrm{W} \left( a_i, a_j \right) = 2 \left( \frac{1}{\mathrm{P}_\mathrm{W} \left( d_j, a_j \right)} – \frac{1}{\mathrm{P}_\mathrm{W} \left( d_i, a_i – 1 \right)} \right) \]
- Jefferson法 \[ \mathrm{IE}_\mathrm{J} \left( a_j + 1, a_i -1 \right) – \mathrm{IE}_\mathrm{J} \left( a_i, a_j \right) = \left( d_i + d_j \right) \left( \frac{1}{\mathrm{P}_{\mathrm{J}} \left( d_j, a_j \right)} – \frac{1}{\mathrm{P}_{\mathrm{J}} \left( d_i, a_i – 1 \right)} \right) \]
証明
Adams法
\[ \begin{eqnarray} \mathrm{IE}_\mathrm{A} \left( a_j + 1, a_i -1 \right) – \mathrm{IE}_\mathrm{A} \left( a_i, a_j \right) &=& \left( a_j + 1 – \left( a_i – 1 \right) \left( \frac{d_j}{d_i} \right) \right) – \left( a_i – a_j \left( \frac{d_i}{d_j} \right) \right) \\ &=& a_j \left( 1 + \frac{d_i}{d_j} \right) – \left( a_i – 1 \right) \left( 1 + \left( \frac{d_i}{d_j} \right) \right) \\ &=& \left( d_i + d_j \right) \left( \frac{a_j}{d_j} – \frac{a_i – 1}{d_i} \right) \\ &=& \left( d_i + d_j \right) \left( \frac{1}{\mathrm{P}_{\mathrm{A}} \left( d_j, a_j \right)} – \frac{1}{\mathrm{P}_{\mathrm{A}} \left( d_i, a_i – 1 \right)} \right) \end{eqnarray} \]Dean法
\[ \begin{eqnarray} \mathrm{IE}_\mathrm{D} \left( a_j + 1, a_i -1 \right) – \mathrm{IE}_\mathrm{D} \left( a_i, a_j \right) &=& \left( \frac{d_i}{a_i – 1} – \frac{d_j}{a_j + 1} \right) – \left( \frac{d_j}{a_j} – \frac{d_i}{a_i} \right) \\ &=& \left( \frac{1}{a_i – 1} + \frac{1}{a_i} \right) d_i – \left( \frac{1}{a_j + 1} + \frac{1}{a_j} \right) d_j \\ &=& 2 \left( \frac{2a_i – 1}{2 a_i \left( a_i – 1 \right)} d_i – \frac{2 a_j + 1}{2 a_j \left( a_j + 1 \right)} d_j \right) \\ &=& 2 \left( \mathrm{P}_{\mathrm{D}} \left( d_i, a_i – 1 \right) – \mathrm{P}_{\mathrm{D}} \left( d_j, a_j \right) \right) \end{eqnarray} \]Hill法
\[ \begin{eqnarray} \mathrm{IE}_\mathrm{H} \left( a_j + 1, a_i -1 \right) – \mathrm{IE}_\mathrm{H} \left( a_i, a_j \right) &=& \frac{\frac{a_j + 1}{d_i}}{\frac{a_i – 1}{d_i}} – \frac{\frac{a_i}{d_i}}{\frac{a_j}{d_j}} \\ &=& \frac{d_i \left( a_j + 1 \right)}{d_j \left( a_i – 1 \right)} – \frac{d_j a_i}{d_i a_j} \\ &=& \frac{a_i \left( a_j + 1 \right)}{d_i d_j} \left( \frac{d_i^2}{a_i \left( a_i – 1 \right)} – \frac{d_j^2}{a_j \left( a_j + 1 \right)} \right) \\ &=& \frac{a_i \left( a_j + 1 \right)}{d_i d_j} \left( \left( \mathrm{P}_{\mathrm{H}} \left( d_i, a_i – 1 \right) \right)^2 – \left( \mathrm{P}_{\mathrm{H}} \left( d_j, a_j \right) \right)^2 \right) \end{eqnarray} \]Webster法
\[ \begin{eqnarray} \mathrm{IE}_\mathrm{W} \left( a_j + 1, a_i -1 \right) – \mathrm{IE}_\mathrm{W} \left( a_i, a_j \right) &=& \left( \frac{a_j + 1}{d_j} – \frac{a_i – 1}{d_i} \right) – \left( \frac{a_i}{d_i} – \frac{a_j}{d_j} \right) \\ &=& 2 \left( \frac{a_j + \frac{1}{2}}{d_j} – \frac{a_i – \frac{1}{2}}{d_i} \right) \\ &=& 2 \left( \frac{1}{\mathrm{P}_{\mathrm{W}} \left( d_j, a_j \right)} – \frac{1}{\mathrm{P}_{\mathrm{W}} \left( d_i, a_i – 1 \right)} \right) \end{eqnarray} \]Jefferson法
\[ \begin{eqnarray} \mathrm{IE}_\mathrm{J} \left( a_j + 1, a_i -1 \right) – \mathrm{IE}_\mathrm{J} \left( a_i, a_j \right) &=& \left( \left( a_j + 1 \right) \frac{d_i}{d_j} – \left( a_i – 1 \right) \right) – \left( a_i \frac{d_j}{d_i} – a_j \right) \\ &=& \left( a_j + 1 \right) \frac{d_i + d_j}{d_j} – a_i \frac{d_i + d_j}{d_i} \\ &=& \left( d_i + d_j \right) \left( \frac{a_j + 1}{d_j} – \frac{a_i}{d_i} \right) \\ &=& \left( d_i + d_j \right) \left( \frac{1}{\mathrm{P}_{\mathrm{J}} \left( d_j, a_j \right)} – \frac{1}{\mathrm{P}_{\mathrm{J}} \left( d_i, a_i – 1 \right)} \right) \end{eqnarray} \]右辺の$\mathrm{P}_f$の係数は正であるので、$\mathrm{IE}_f \left( a_j + 1, a_i -1 \right) – \mathrm{IE}_f \left( a_i, a_j \right)$と$\mathrm{P}_f \left( d_i, a_i – 1 \right) – \mathrm{P}_f \left( d_j, a_j \right)$は符号が同じである。（証明終わり）
補題4
$f$を除数法とする。この時、次の（i）と（ii）は同値である。
（i）$f \left( A; \left( d_1, \ldots, d_n \right) \right) = \left( a_1, \ldots, a_n \right)$
（ii）$\left( a_1, \ldots, a_n \right) \left( a_1 + \cdots + a_n = A \right)$に対して、$\mathrm{P}_f \left( d_i, a_i – 1 \right) – \mathrm{P}_f \left( d_j, a_j \right) \ge 0 \left( i,j = 1, \ldots, n, i \not= j \right)$が成り立つ。
証明
$f$を優先法で解く。優先度の大きいものから$A$個選ぶと、解である資源の配分$\left( a_1,\ldots,a_n \right)$が得られる。すなわち、ある$x$が存在し、優先度の大きいものから選び、$x$以上の優先度までを（複数個の解がある場合は、適切に）選ぶと、配分$\left( a_1,\ldots,a_n \right)$が得られる。式で書けば、
\[ \mathrm{P}_f \left( d_i, a_i – 1 \right) \ge x \ge \mathrm{P}_f \left( d_j, a_j \right) \left( i,j = 1, \ldots, n, i \not= j \right) \]が成り立っている。（証明終わり）
制限「$a_i \gt 1, a_j \gt 0$」に関する注意事項
「$f$が$\mathrm{A,D,H}$の場合は、$a_i \gt 1, a_j \gt 0$とする。」が必要なのは、$\mathrm{P}_f(d,0) \left( f=\mathrm{A,D,H} \right)$、$\mathrm{IE}_\mathrm{D} \left( x_1, x_2 \right) \left( x_1 = 0, x_2 = 0 \right)$、$\mathrm{IE}_\mathrm{H} \left( x_1, 0 \right)$の表現の分母に$0$が出てくるためである。この状況を扱うために、記号$\infty$を導入する。すなわち、
\[ \frac{x}{0} = \infty \left( x \gt 0 \right) \\ -\infty \lt x \lt \infty \\ \infty – \infty = 0 \\ x – \infty = -\infty \\ \infty – x = \infty \]とする。ただし、$x$は実数とする。例えば、
\[ \mathrm{IE}_\mathrm{H} \left( x_1, x_2 \right) = \left\{ \begin{array}{lc} \frac{d_2 x_1}{d_1 x_2} – 1 & \left( x_2 \not= 0 \right) \\ \frac{\frac{d_2 x_1}{d_1}}{0} – 1 = \infty – 1 = \infty & \left( x_2 = 0 \right) \end{array} \right. \]このように扱えば、「$a_i \gt 1, a_j \gt 0$」の制限なく結果を適用できる。
（例）$\left( 2; \left( 3,2,1 \right) \right)$をHill法で解く
$\mathrm{P}_\mathrm{H}(d,0)=\infty$より、優先法で解くと、1つの解として、$f_\mathrm{H}\left( 2; \left( 3,2,1 \right) \right) = (1,1,0)$。
配分$a=(1,1,0)$における、有利なプレイヤー$i$と不利なプレイヤー$j$の間の不平等量の関係を調べてみる。例えば、
$i=1, j=3$
\[ \begin{array}{cc} \frac{a_1}{d_1}=\frac{1}{1} \gt \frac{a_3}{d_3}=\frac{0}{3}, & \frac{a_3 + 1}{d_3}=\frac{1}{3} \gt \frac{a_1 – 1}{d_1}=\frac{0}{1} \\ \mathrm{IE}_\mathrm{H} \left( a_1, a_3 \right) = \infty, & \mathrm{IE}_\mathrm{H} \left( a_3 + 1, a_1 – 1 \right) = \infty \\ \end{array} \\ \mathrm{IE}_\mathrm{H} \left( a_3 + 1, a_1 – 1 \right) – \mathrm{IE}_\mathrm{H} \left( a_1, a_3 \right) = \infty – \infty = 0 \]$i=1, j=2$
\[ \begin{array}{cc} \frac{a_1}{d_1}=\frac{1}{1} \gt \frac{a_2}{d_2}=\frac{1}{2}, & \frac{a_2 + 1}{d_2}=\frac{2}{2} \gt \frac{a_1 – 1}{d_1}=\frac{0}{1} \\ \mathrm{IE}_\mathrm{H} \left( a_1, a_2 \right) = 2 – 1 = 1, & \mathrm{IE}_\mathrm{H} \left( a_2 + 1, a_1 – 1 \right) = \infty \\ \end{array} \\ \mathrm{IE}_\mathrm{H} \left( a_2 + 1, a_1 – 1 \right) – \mathrm{IE}_\mathrm{H} \left( a_1, a_2 \right) = \infty – 1 = \infty \]どちらの場合も、有利なプレイヤー$i$から不利なプレイヤー$j$への資源$1$個の譲渡は不平等量が等しいか増えるので、正当化されない。