対称な行列ゲームのゲームの値は0であり、プレイヤー1とプレイヤー2の最適戦略の集合は一致する。
行列ゲーム$A$が$A=-A^{\rm T}$を満たすとき、対称ゲームと呼ばれる。従って、証明すべきことは
$A=-A^{\rm T}$ならば、以下が成り立つ。
- $v(A)=0$
- $O_1(A)=O_2(A)$
（証明）
プレイヤー1と2の最適戦略を、各々、$p$と$q$とする。また、各々の任意の戦略を$x$と$y$とする。
まず、以下が成り立つ。
\[ x^{\rm T}Ay = \left( x^{\rm T}Ay \right)^{\rm T} = y^{\rm T} A^{\rm T} x = – y^{\rm T} A x \]1.
$p$はプレイヤー1の最適戦略なので
\[ p^{\rm T}Ay \ge v(A) \\ -y^{\rm T} A p \ge v(A) \\ y^{\rm T} A p \le -v(A) \\ v(A) = \max_y \min_z y^{\rm T} A z \le -v(A) \]同様に、$q$はプレイヤー2の最適戦略なので
\[ x^{\rm T}Aq \le v(A) \\ -q^{\rm T} A x \le v(A) \\ q^{\rm T} A x \ge -v(A) \\ v(A) = \min_x \max_z z^{\rm T} A x \ge -v(A) \]従って、$v(A) \le -v(A) \le v(A)$より、$v(A)=-v(A)$となり、$v(A)=0$となる。
2.
次に、$p \in O_1(A)$なので、
\[ p^{\rm T}Ay \ge 0 \\ -y^{\rm T} A p \ge 0 \\ y^{\rm T} A p \le 0 \\ \]上記の最後の式が任意の$y$に対して成り立っているので、$p \in O_2(A)$である。また、$q \in O_2(A)$なので、
\[ x^{\rm T}Aq \le 0 \\ -q^{\rm T} A x \le 0 \\ q^{\rm T} A x \ge 0 \\ \]上記の最後の式が任意の$x$に対して成り立っているので、、$q \in O_1(A)$である。従って、$O_1(A)=O_2(A)$（証明終わり）
例
次の対称ゲームの最適戦略を求める。このゲームはジャンケンゲームである。
| R(ock) | S(cissor) | P(aper) | |
| R(ock) | $0$ | $1$ | $-1$ |
| S(cissor) | $-1$ | $0$ | $1$ |
| P(aper) | $1$ | $-1$ | $0$ |
まず、この対称ゲームのゲームの値は$0$である。プレイヤー1の最適戦略を
\[ x = \left( \begin{array}{c} x_{\rm R} \\ x_{\rm S} \\ x_{\rm P} \end{array} \right) \]とおく。ただし、各要素は非負で、$x_{\rm R}+x_{\rm S}+x_{\rm P}=1$である。
\[ \left( \begin{array}{ccc} x_{\rm R} & x_{\rm S} & x_{\rm P} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{array} \right) \ge \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \]すなわち
\[ \begin{eqnarray} && &-x_{\rm S}& &+x_{\rm P}& &\ge& 0 \\ &x_{\rm R}& && &-x_{\rm P}& &\ge& 0 \\ -&x_{\rm R}& &+x_{\rm S}& && &\ge& 0 \end{eqnarray} \]となる$x$を求めればよい。いま、3本すべてが等式で成り立っていると仮定して解くと、$x_{\rm R}=x_{\rm S}=x_{\rm P}=\frac{1}{3}$となる。2本が等式で成り立てば、残りの1本も等式で成り立つ。また、1本が等式で成り立てば、他の2本も等式で成り立つ。従って、プレイヤー1とプレイヤー2の最適戦略はRとSとPを等確率でとる
\[ \left( \begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{array} \right) \]だけである。