プリズム

数理的アプローチ


有限時間に埋め込まれた無限回繰返し

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問題

lメートル離れたA君とB君が向かい合って歩き出した。それと同時にA君の愛犬がA君からB君に向かって走り出した。この愛犬はB君のところに来ると折り返してA君の方へ走り、この往復運動をA君とB君が出会うまで行う。この愛犬は何メートル走るだろうか?ただし、A君の速度は毎分aメートル、B君の速度は毎分bメートル、A君の愛犬の速度は毎分cメートルである。また、0<a<c,0<b<cと仮定する。

この問題を2通りの方法で解く。着目する点が異なれば、解答する際に必要となる知識(技術)が異なる。「解答1」は中学生の知識で解けるが、「解答2」は高校生の無限等比級数の知識が必要となり、また、計算も複雑になる。この2つの解答から「有限時間に埋め込まれた無限回繰返し」とまとめることができる事例である。

解答1

愛犬の動きに惑わされないようにして、まず、A君とB君に着目して解いてみる。A君とB君が出会うまでの時間を求めると、la+b分となる。この間に愛犬が走る距離は、lca+bメートル、となる。

解答2

A君から離れた愛犬の動きに着目し、B君に出会うまでに走った時間(t1AB)、折り返してA君に出会うまでに走った時間(t1BA)、折り返してB君に出会うまでに走った時間(t2AB)、・・・を各々求め、それらの和を求める。この和にcをかければ答えが出る。

t1AB=lb+c, t1BA=l(a+b)t1ABa+c=1a+cl(ca)b+c、より t1AB+t1BA=l2c(a+c)(b+c)
t2AB=l(a+b)(t1AB+t1BA)b+c=1b+cl(ca)(cb)(a+c)(b+c), t2BA=l(a+b)(t1AB+t1BA+t2AB)a+c=1a+cl(ca)2(cb)(a+c)(b+c)2、より t2AB+t2BA=l2c(ca)(cb)(a+c)2(b+c)2=(ca)(cb)(a+c)(b+c)(t1AB+t1BA)

数列(tnAB+tnBA)n=1,2,は初項l2c(a+c)(b+c)、絶対値が1未満の公比(ca)(cb)(a+c)(b+c)の等比数列でその和は

l2c(a+c)(b+c)11(ca)(cb)(a+c)(b+c)=la+b

となる。従って、この間に愛犬が走る距離は、lca+bメートル、となる。