プリズム

問題

この問題を2通りの方法で解く。着目する点が異なれば、解答する際に必要となる知識（技術）が異なる。「解答1」は中学生の知識で解けるが、「解答2」は高校生の無限等比級数の知識が必要となり、また、計算も複雑になる。この2つの解答から「有限時間に埋め込まれた無限回繰返し」とまとめることができる事例である。

解答1

愛犬の動きに惑わされないようにして、まず、A君とB君に着目して解いてみる。A君とB君が出会うまでの時間を求めると、$\frac{l}{a+b}$分となる。この間に愛犬が走る距離は、$\frac{lc}{a+b}$メートル、となる。

解答2

A君から離れた愛犬の動きに着目し、B君に出会うまでに走った時間（$t_{1AB}$）、折り返してA君に出会うまでに走った時間（$t_{1BA}$）、折り返してB君に出会うまでに走った時間（$t_{2AB}$）、・・・を各々求め、それらの和を求める。この和に$c$をかければ答えが出る。

$t_{1AB}=\frac{l}{b+c},$ $t_{1BA}=\frac{l–(a+b)t_{1AB}}{a+c}=\frac{1}{a+c}\frac{l(c-a)}{b+c}$、より $t_{1AB}+t_{1BA}=l\frac{2c}{(a+c)(b+c)}$
$t_{2AB}=\frac{l–(a+b)(t_{1AB}+t_{1BA})}{b+c}=\frac{1}{b+c}\frac{l(c-a)(c-b)}{(a+c)(b+c)},$ $t_{2BA}=\frac{l–(a+b)(t_{1AB}+t_{1BA}+t_{2AB})}{a+c}=\frac{1}{a+c}\frac{l(c-a{)}^2(c-b)}{(a+c)(b+c{)}^2}$、より $t_{2AB}+t_{2BA}=l\frac{2c(c-a)(c-b)}{(a+c{)}^2(b+c{)}^2}=\frac{(c-a)(c-b)}{(a+c)(b+c)}(t_{1AB}+t_{1BA})$

数列$(t_{nAB}+t_{nBA}{)}_{n=1,2,\dots }$は初項$l\frac{2c}{(a+c)(b+c)}$、絶対値が$1$未満の公比$\frac{(c-a)(c-b)}{(a+c)(b+c)}$の等比数列でその和は

$l\frac{2c}{(a+c)(b+c)}\frac{1}{1–\frac{(c-a)(c-b)}{(a+c)(b+c)}}=\frac{l}{a+b}$

となる。従って、この間に愛犬が走る距離は、$\frac{lc}{a+b}$メートル、となる。