問題
メートル離れたA君とB君が向かい合って歩き出した。それと同時にA君の愛犬がA君からB君に向かって走り出した。この愛犬はB君のところに来ると折り返してA君の方へ走り、この往復運動をA君とB君が出会うまで行う。この愛犬は何メートル走るだろうか?ただし、A君の速度は毎分メートル、B君の速度は毎分メートル、A君の愛犬の速度は毎分メートルである。また、と仮定する。
この問題を2通りの方法で解く。着目する点が異なれば、解答する際に必要となる知識(技術)が異なる。「解答1」は中学生の知識で解けるが、「解答2」は高校生の無限等比級数の知識が必要となり、また、計算も複雑になる。この2つの解答から「有限時間に埋め込まれた無限回繰返し」とまとめることができる事例である。
解答1
愛犬の動きに惑わされないようにして、まず、A君とB君に着目して解いてみる。A君とB君が出会うまでの時間を求めると、分となる。この間に愛犬が走る距離は、メートル、となる。
解答2
A君から離れた愛犬の動きに着目し、B君に出会うまでに走った時間()、折り返してA君に出会うまでに走った時間()、折り返してB君に出会うまでに走った時間()、・・・を各々求め、それらの和を求める。この和にをかければ答えが出る。
、より
、より
数列は初項、絶対値が未満の公比の等比数列でその和は
となる。従って、この間に愛犬が走る距離は、メートル、となる。