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プリズム

数理的アプローチ

$T a u (\frac{1}{2} \sum_{j \in N} d_{j}; d) = \frac{1}{2} d$

投稿日時：

2017年5月9日10時05分

最終更新日時：

カテゴリー：

タウ値, 公平のあり方, 破産問題

タグ：

（証明）

$N = {1, \dots, n}, d = (d_{1}, \dots, d_{n}), E = \frac{1}{2} \sum_{j \in N} d_{j}$ とおく。また、 $d_{1} = max {d_{1}, \dots, d_{n}}$ となるように $d_{j} (j \in N)$ を並べ替えておく。

$n = 1$ の時、 $T a u (E; d) = \frac{1}{2} d$ は明らかに成立する。

$n \geq 2$ の時を考察する。 $d_{j} > 0 (j \in N)$ と $2 E = \sum_{j \in N} d_{j}$ より、 $d_{j} < E (j \in {2, \dots, n})$ である。従って、 $d^{'} = (d_{1}^{'}, \dots, d_{n}^{'}), d_{j}^{'} = min {E, d_{j}} (j \in N)$ とおけば、 $d^{'} = (min {E, d_{1}}, d_{2}, \dots, d_{n})$ となる。 $E^{'} = \frac{1}{2} \sum_{j \in N} d_{j}^{'}$ とおけば、 $P r o p (E, d^{'}) = \frac{E}{E^{'}} \frac{1}{2} d^{'}$ となる。ここで、 $E \geq E^{'}$ であるので、 $P r o p_{j} (E, d^{'}) \geq \frac{1}{2} d_{j} (j \in {2, \dots, n})$ である。

ゆえに、 $T a u (E; d) = (E - \frac{1}{2} \sum_{j \in {2, \dots, n}} d_{j}, \frac{1}{2} d_{2}, \dots, \frac{1}{2} d_{n}) = \frac{1}{2} d$ となる。（証明終わり）

Tau(12∑j∈Ndj;d)=12d

（証明）

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