コンドルセ勝者は、他のどの候補者に対しても、過半数の投票者の支持を得ている候補者である。また、コンドルセ敗者は、他のどの候補者に対しても、過半数の投票者の支持を得ていない候補者である。コンドルセ勝者と敗者は存在するとは限らないが、存在すれば次の事柄が成り立つ。
- コンドルセ勝者（敗者）はボルダルールの敗者（勝者）ではない。
- コンドルセ勝者（敗者）はコープランドルールの勝者（敗者）である。
- コンドルセ勝者（敗者）はシンプソンルールの勝者（敗者）である。
この結果は以下に述べる「補題2」、「補題3」、「補題4」から得られる。
投票者を$N=\left\{ 1, \ldots, n \right\}$、候補者を$A=\left\{ 1, \ldots, p \right\}$とし、コンドルセ勝者を$a \in A$、コンドルセ敗者を$b \in A$とする。
補題1
\[ \begin{eqnarray} v_{ay}(u) &\gt& \frac{n}{2} \left( y \in A, y \not= a \right) \\ v_{ya}(u) &\lt& \frac{n}{2} \left( y \in A, y \not= a \right) \\ m_{ay}(u) &=& 1 \left( y \in A, y \not= a \right) \\ m_{ya}(u) &=& -1 \left( y \in A, y \not= a \right) \\ v_{by}(u) &\lt& \frac{n}{2} \left( y \in A, y \not= b \right) \\ v_{yb}(u) &\gt& \frac{n}{2} \left( y \in A, y \not= b \right) \\ m_{by}(u) &=& -1 \left( y \in A, y \not= b \right) \\ m_{yb}(u) &=& 1 \left( y \in A, y \not= b \right) \\ \sum_{x \in A}{\sum_{y \in A}{v_{xy}(u)}} &=& n \frac{p(p-1)}{2} \end{eqnarray} \]証明
投票行列の$x$行$y$列要素$v_{xy}(u)$は$y$よりも$x$を好む投票者の人数を表し、過半数行列の$x$行$y$列要素$m_{xy}(u)$は、$v_{xy}(u)$が$n/2$より大きい、と等しい、より小さいに応じて、$1$、$0$、$-1$である。また、$m_{xy}(u)+m_{yx}(u)=0$、$v_{xy}(u)+v_{yx}(u)=n$なので、上記の式が成り立つ。（証明終わり）
補題2
\[ \begin{eqnarray} \mathrm{BordaScore}(u;a) &\gt& \frac{n}{2} (p-1) \\ \mathrm{BordaScore}(u;b) &\lt& \frac{n}{2} (p-1) \\ \end{eqnarray} \]$a$はボルダルールの敗者ではない。また、$b$はボルダルールの勝者ではない。
証明
補題1より上記の2個の不等式が成り立つ。
$a$をボルダルールの敗者と仮定する。この時、$v_{xy}(u) \gt \frac{n}{2} \left( x, y \in A, x \not= y \right)$が成り立つので、$\sum_{x \in A}{\sum_{y \in A}{v_{xy}(u)}} \gt n \frac{p(p-1)}{2}$となる。これは補題1に矛盾する。すなわち、$a$はボルダルールの敗者ではない。
$b$をボルダルールの勝者と仮定する。この時、$v_{xy}(u) \lt \frac{n}{2} \left( x, y \in A, x \not= y \right)$が成り立つので、$\sum_{x \in A}{\sum_{y \in A}{v_{xy}(u)}} \lt n \frac{p(p-1)}{2}$となる。これは補題1に矛盾する。すなわち、$b$はボルダルールの勝者ではない。（証明終わり）
補題3
\[ \begin{eqnarray} \mathrm{CooplandScore}(u;a) &=& p-1 \\ \mathrm{CooplandScore}(u;b) &=& -(p-1) \\ -(p-1) \lt \mathrm{CooplandScore}(u;x) &\lt& p-1 \left( x \not= a, b \right) \end{eqnarray} \]証明
$\mathrm{CooplandScore}(u;x) = \sum_{y: y \in A, y \not= x}{m_{xy}(u)}$と補題1より成り立つ。（証明終わり）
補題4
\[ \begin{eqnarray} \mathrm{SimpsonWScore}(u;a) &\ge& \frac{n}{2} \\ \mathrm{SimpsonLScore}(u;b) &\le& \frac{n}{2} \\ \mathrm{SimpsonWScore}(u;x) &\lt& \frac{n}{2} \left( x \not= a \right) \\ \mathrm{SimpsonLScore}(u;x) &\gt& \frac{n}{2} \left( x \not= b \right) \end{eqnarray} \]証明
$\mathrm{SimpsonWScore}(u;x) = \min \left\{ \left. v_{xy}(u) \right| y \in A, y \not= x \right\}$、$\mathrm{SimpsonLScore}(u;x) = \max \left\{ \left. v_{xy}(u) \right| y \in A, y \not= x \right\}$と補題1より成り立つ。（証明終わり）