比例配分値がダミープレイヤー性を満たすことを以下で証明する。まず、比例配分値の簡単な説明とダミープレイヤー性の説明を行う。
比例配分値
提携形ゲーム$(N,v)$の比例配分値${\rm Prop}(N,v)$は次のようにポテンシャル${\rm Po}$を利用して定義される。
\[
{\rm Prop}_j(N,v) = \frac{{\rm Po}(N)}{{\rm Po}\left(N – \{j\}\right)} \left( j \in N \right)
\]
一方、ポテンシャル${\rm Po}$は次のように定義される。
\begin{eqnarray}
{\rm Po}(\emptyset) &=& 1 \\
{\rm Po}(S) &=& \frac{v(S)}{\sum_{j \in S}\frac{1}{{\rm Po}\left( S – \{j\} \right)}} \left( S \subset N \right)
\end{eqnarray}
ダミープレイヤー性
提携形ゲーム$(N,v)$のある解$f(N,v)$がダミープレイヤー性を満たすとは、ダミープレイヤー$j \in N$に対して、$f_j(N,v)=v\left( \{ j \} \right)$となることである。ここで、プレイヤー$j$がダミープレイヤーであるとは、
\[
v \left( S \cup \{ j \} \right) = v(S) + v \left( \{ j \} \right) \left( S \subset N – \{ j \} \right)
\]
比例配分値はダミープレイヤー性を満たす
以上のことより、次のことを証明すればよい。
あるプレイヤー$j \in N$に対して
\[
v \left( S \cup \{ j \} \right) = v(S) + v \left( \{ j \} \right) \left( S \subset N – \{ j \} \right)
\]
が成り立てば、すなわち、プレイヤー$j$がダミープレイヤーならば、
\[
\frac{{\rm Po}(N)}{{\rm Po}\left(N – \{j\}\right)} = v \left( \{ j \} \right)
\]
証明
\[
\frac{{\rm Po} \left( S \cup \{ j \} \right)}{{\rm Po}\left( S \right)} = v \left( \{ j \} \right) \left( S \subset N – \{ j \} \right)
\]
を集合$S$の要素の個数$|S|$による帰納法で証明する。
\begin{eqnarray}
{\rm Po} \left( \emptyset \right) &=& 1 \\
{\rm Po} \left( \{ i \} \right) &=& v \left( \{ i \} \right) \left( \forall i \in N \right)
\end{eqnarray}
より、$|S|=0$の時は成立する。次に、$|S|$以下の時成立すると仮定する。
\begin{eqnarray}
{\rm Po} \left( S \cup \{ j \} \right) &=& \frac{v(S) + v \left( \{ j \} \right)}{\sum_{k \in S \cup \{ j \}}\frac{1}{{\rm Po}\left( S \cup \{ j \} – \{ k \} \right)}} \\
&=& \frac{v(S) + v \left( \{ j \} \right)}{ \frac{1}{{\rm Po}(S)} + \sum_{k \in S}\frac{1}{{\rm Po}\left( S \cup \{ j \} – \{ k \} \right)}}
\end{eqnarray}
帰納法の仮定より
\[
{\rm Po}\left( S \cup \{ j \} – \{ k \} \right) = {\rm Po} \left( S – \{ k \} \right) v \left( \{ j \} \right)
\]
を代入すると、
\[
{\rm Po} \left( S \cup \{ j \} \right) = \frac{v(S) + v \left( \{ j \} \right)}{ \frac{1}{{\rm Po}(S)} + \frac{1}{v \left( \{ j \} \right)}\sum_{k \in S}\frac{1}{{\rm Po}\left( S – \{ k \} \right)}}
\]
ここで分母の第2項は
\[
\sum_{k \in S}\frac{1}{{\rm Po}\left( S – \{ k \} \right)} = \frac{v(S)}{{\rm Po}(S)}
\]
なので代入すると
\begin{eqnarray}
{\rm Po} \left( S \cup \{ j \} \right) &=& \frac{v(S) + v \left( \{ j \} \right)}{ \frac{1}{{\rm Po}(S)} + \frac{1}{v \left( \{ j \} \right)} \frac{v(S)}{{\rm Po}(S)}} \\
&=& {\rm Po}(S) v \left( \{ j \} \right)
\end{eqnarray}
従って、$|S|+1$の時も成立することが示された。（証明終わり）