最新は1.2版です。
列ベクトルを直交化し、行列の積、行列の階数、逆行列、行列式、固有多項式、固有値を求め、連立1次方程式を解くプログラムです。線形代数の基本的なこと、及び、ここで利用されている計算方法に関しては、「線形代数微積分入門」を参考にして下さい。
行列の演算
線形代数で登場する、行列に関する次の演算を行う。列ベクトルの集合とみなし、これらの列ベクトルを直交化する。2つの行列の積を求める。与えられた行列の行列式、逆行列、階数、固有多項式を求める。連立1次方程式の解を求める。
利用方法
行列の新規作成
「行列の新規作成」ボタンを押すと、4行4列の正方行列が新しいウィンドウに作成される。名前はタイトルバーに自動的に付けられる。行数と列数を変更し、「サイズの変更」ボタンを押せば、サイズを変更できる。行列の各要素には有理数を入力できる。「-10」、「2/3」、「2+3/4」、「14.52」等の整数、分数（帯分数や仮分数）、小数が入力できる。しかし、「5+2」のように式を入力して計算結果の「7」を入力することは出来ない。既定では入力に従って結果が表示されるが、「表示」メニューから、それ以外に、「分数」表示、「小数」表示、「帯分数」表示を選ぶことができる。
列ベクトルの直交化
例として、3つの列ベクトル $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$ をグラム・シュミットの直交化法により直交化する。必要ならば「行列の新規作成」ボタンを押し、この3個の列ベクトルからなる行列（この例の場合は3行3列の行列）を作成する（ここでは、M1という名前が自動的に付けられている）。
「行列の演算」メインウィンドウに戻り、
「行列A」のりストボックスでM1を選択し、「列ベクトルの直交化」ボタンを押すと、結果が新しいウィンドウM1-1に表示され
直交化されたベクトルは $\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} – \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} 0 \\ -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{array} \right)$ となる。
行列の積
例として、積 $\left( \begin{array}{ccccc} 4 & 0 & 2 & 0 & 4 \\ 2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 8 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & -1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 6 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ -2 & 2 & -4 \\ 1 & -5 & 2 \end{array} \right)$ の例を計算する。必要ならば「行列の新規作成」ボタンを2回押し、この2つの行列を作成する（ここでは、M1とM2という名前が自動的に付けられている）。
「行列の演算」メインウィンドウに戻り、
「行列A」のリストボックスでM1を選択し、「行列B」のリストボックスでM2を選択し、「A*B」ボタンを押す。結果が新しいウィンドウ(M1)*(M2)に表示される。
他の行列の積の例として、 $\left( \begin{array}{ccc} 130 & 150 & 120 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 4 \end{array} \right)$ を求める。左の行ベクトルを列ベクトルと見なすと、ベクトルの内積でもある。
「行列の演算」メインウィンドウに戻り、
「行列A」のリストボックスでM3を選択し、「行列B」のリストボックスでM4を選択し、「A*B」ボタンを押す。結果が新しいウィンドウ(M3)*(M4)に表示される。
行列式
例として行列式 $\left| \begin{array}{cccc} 5 & -2 & 4 & 0 \\ -1 & 1 & 3 & 9 \\ 0 & -5 & 2 & 1 \\ 0 & 6 & 1 & 3 \end{array} \right|$ を求める。「行列の新規作成」ボタンを押し、この行列を作成する。（ここではM1という名前がついている。）
「行列の演算」ウィンドウに戻り、
「行列A」リストボックスで、M1を選択し、「|A|」ボタンを押す。結果が、新しいウィンドウに表示される。ステータスバーを見れば行列式が-351であることがかる。
逆行列
例として $\left( \begin{array}{cccc} 5 & -2 & 4 & 0 \\ -1 & 1 & 3 & 9 \\ 0 & -5 & 2 & 1 \\ 0 & 6 & 1 & 3 \end{array} \right)$ の逆行列を求める。必要ならば、「行列の新規作成」ボタンを押し、この行列を作成する。（ここではM1という名前がついている。）
「行列の演算」ウィンドウに戻り、「行列A」リストボックスにおいて、M1を選択し、「1/A」ボタンを押す。新しいウィンドウに逆行列M1-Inverseが表示される。
次に、「ピボット操作」を利用して逆行列を求める。上記のM1の列数を「8」に変更し、5列目から8列目までに単位行列を入力する。（解く経過を残さない場合は、「結果を新ウィンドウに表示」のチェックを外す。）1行1列の要素「5」を選択し、
「ピボット操作」ボタンを押す。2行2列の要素「3/5」を選択し、
「ピボット操作」ボタンを押す。3行3列の要素「33+2/3」を選択し、
「ピボット操作」ボタンを押す。4行4列の要素「-3-48/101」を選択し、
「ピボット操作」ボタンを押す。
5列目から8列目までに逆行列が求まっている。
階数
例として $\left( \begin{array}{cccccc} 0 & 2 & 1 & 0 & 2 & -2 \\ 2 & 0 & 1 & 4 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 5 & 0 & 3 & 2 \\ -1 & -1 & 4 & -4 & 4 & 2 \\ 4 & -2 & 11 & 4 & 5 & 4 \end{array} \right)$ の階数を求める。必要ならば、「行列の新規作成」ボタンを押し、サイズを5行6列に変更し、この行列を作成する。（ここではM1という名前がついている。）
「行列の演算」ウィンドウに戻り、「行列A」リストボックスでM1を選択し、「Aの階数」ボタンを押す。「M1の階数」ウィンドウのステータスバーに答えが表示される。
行列の階数を「Aの階数」ボタンを1回押すだけで求めたが、今度は、行列の基本変形を利用して求める。「行列の演算」ウィンドウの「行列A」リストボックスでM1を選択する。（解く経過を残さない場合は、「結果を新ウィンドウに表示」チェックを外す。）1行と2行を交換するために、「1」と「2」を選び、「交換」ボタンを押す。
1行の-1/2倍を3行にたす
1行の1/2倍を4行にたす
1行の-2倍を5行にたす
2行の1/2倍を3行にたす
2行の1/2倍を4行にたす
2行の1倍を5行にたす
3行の-1倍を4行にたす
3行の-2倍を5行にたす
となり、階数が3であることが分かる。
同時連立1次方程式
例として、同次方程式 $\left\{ \begin{array}{c} x_1& – x_2& + 2x_3& + x_4& + 2x_5& = 0 \\ & x_2& + x_3& – 3x_4& + x_5& = 0 \\ 3x_1& – 4x_2& + 7x_3& + 4x_4& + 9x_5& = 0 \\ x_1& + 2x_2& + x_3& – 4x_4& – 3x_5& = 0 \\ \end{array} \right.$ を解く。必要ならば、「行列の新規作成」ボタンを押し、行列を作成する。右辺の定数列も含めるので、解きたい連立1次方程式の大きさは4行6列である。（ここでは、M1という名前がついている。）
「行列の演算」ウィンドウに戻り、「行列A」リストボックスでM1を選択し、 「連立1次方程式(A)の解法」ボタンを押すと、「連立1次方程式(M1)の解法」ウィンドウに解が分かるように表示される。
「表示」メニューから「解の表示」を選ぶと、
のように、解が表示される。
ピボット操作1
上記の同次連立1次方程式（M1）をピボット操作を利用して解く。
「行列の演算」ウィンドウに戻り、「行列A」リストボックスでM1を選択する。（解く経過を残さない場合は、「結果を新ウィンドウに表示」のチェックを外す。）
1行1列の要素「1」をクリックし、選択し、「行列の演算」ウィンドウの「ピボット操作」ボタンを押す。
2行2列の要素「1」を選び、「ピボット操作」ボタンを押す。
3行3列の要素「2」を選び、「ピボット操作」ボタンを押す。
となり、答えが得られた。
非同時連立1次方程式
例として、非同次方程式 $\left\{ \begin{array}{c} & & x_3& + 12x_4& – x_5& = 33 \\ -6x_1& + 3x_2& & – 3x_4& + 2x_5& = -63 \\ 5x_1& – 2x_2& & + 2x_4& – x_5& = 52 \\ 3x_1& & – 3x_3& – 12x_4& + 2x_5& = -3 \\ \end{array} \right.$ を解く。必要ならば、「行列の新規作成」ボタンを押し、行列を作成する。右辺の定数列も含めるので、解きたい連立1次方程式の大きさは4行6列である。（ここでは、M2という名前がついている。）
「行列の演算」ウィンドウに戻り、「行列A」リストボックスでM2を選択し、 「連立1次方程式(A)の解法」ボタンを押すと、「連立1次方程式(M2)の解法」ウィンドウに解が分かるように表示される。
「表示」メニューから「解の表示」を選ぶと、
のように、解が表示される。
ピボット操作2
上記の非同次連立1次方程式（M2）をピボット操作を利用して解く。
「行列の演算」ウィンドウに戻り、「行列A」リストボックスでM2が選択されていることを確認する。（解く経過を残さない場合は、「結果を新ウィンドウに表示」のチェックを外す。）1行と2行を交換するために、「1」と「2」を選び、「交換」ボタンを押す。
1行１列の要素「-6」をクリックし、選択し、「行列の演算」ウィンドウの「ピボット操作」ボタンを押す。
2行と3行を交換するために、「2」と「3」を選び、「交換」ボタンを押す。
2行2列の要素「1/2」を選び、「ピボット操作」ボタンを押す。
3行3列の要素「1」を選び、「ピボット操作」ボタンを押す。
4行4列の要素「24」を選び、「ピボット操作」ボタンを押す。
となり、答えが得られた。
固有多項式
例として $\left( \begin{array}{cccc} 1 & -1 & -2 & 9 \\ 0 & 2 & 3 & 1 \\ 0 & 3 & -5 & 7 \\ 1 & 0 & -2 & 1 \end{array} \right)$ の固有多項式を求める。必要ならば、「行列の新規作成」ボタンを押し、この行列を作成する。（ここではM1という名前がついている。）
「行列の演算」ウィンドウに戻り、「行列A」リストボックスにおいて、M1を選択し、「固有多項式」ボタンを押す。新しいウィンドウに固有多項式を容易に求めることができる行列M1-CharPolyが表示される。
この行列から、固有多項式が $\lambda^4 + \lambda^3 – 19\lambda^2 – 7\lambda + 178$ であることが分かる。
次に、行列の基本変形を利用して行列M1の固有多項式求める。（利用する計算方法については「線形代数微積分入門」の66ページにある「固有多項式を行列の基本変形を利用して求める」例を参照して下さい。）
「行列の演算」ウィンドウに戻り、「行列A」リストボックスでM1を選択する。「列にも逆操作を行う」をチェックする。（解く経過を残さない場合は、「結果を新ウィンドウに表示」のチェックを外す。）2行と4行を交換するために、「2」と「4」を選び、「交換」ボタンを押す。
2行の-1倍を1行に加える
3行を1/7倍する
3行の-8倍を1行に加える
3行の-2倍を2行に加える
3行の-1倍を4行に加える
（「表示」メニューから「分数」を選ぶと、4行3列の要素の逆数が7/193であることが分かるので）4行を7/193倍する。（どちらでもよいが、今後、逆数を知る必要がないので、「表示」メニューから「分数」をアンチェックし、既定の表示に戻す。）
4行の-35-4/7倍を1行に加える
4行の-3-1/7倍を2行に加える
4行の2+4/7倍を3行に加える
となり、同じ答えが得られた。
固有値と固有ベクトル
例として $A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & -2 \\ -1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 3 \end{array} \right)$ の固有値と固有ベクトルを求める。必要ならば、「行列の新規作成」ボタンを押し、サイズを3行3列に変更し、この行列を作成する。（ここではM1という名前がついている。）
「行列の演算」ウィンドウに戻り、「行列A」リストボックスにおいて、M1を選択し、「固有多項式」ボタンを押す。新しいウィンドウに固有多項式を容易に求めることができる行列M1-CharPolyが表示される。
$\left(
\begin{array}{cc|c}
0 & -2 & -2 \\
1 & 3 & 1 \\
\hline
0 & 0 & 2
\end{array}
\right)$
左上の2次の行列より$\lambda^2 – 3\lambda + 2$が右下の1次の行列より$\lambda – 2$が得られ、結局、$A$の固有多項式は
\[ f_A(\lambda) = \left| \begin{array}{ccc} \lambda & 0 & 2 \\ 1 & \lambda – 2 & 1 \\ -1 & 0 & \lambda – 3 \end{array} \right| = \left( \lambda^2 – 3\lambda + 2 \right) \left( \lambda – 1 \right) = \left( \lambda – 1 \right) \left( \lambda – 2 \right)^2 \]となる。これより固有値は$1$と$2$（2重解）となる。
固有値$1$に属する固有ベクトルは、係数行列が上記の固有多項式 $f_A(\lambda)$の行列式の部分（$\lambda = 1$とおく）である、次の同次連立方程式の解である。
\[ \left\{ \begin{array}{c} x_1& & +2x_3& = 0 \\ x_1& – x_2& + x_3& = 0 \\ -x_1& & -2x_3& = 0 \end{array} \right. \]先程利用した行列M1のサイズを3行4列に変更し、この行列に再利用する。
「行列の演算」ウィンドウに戻り、「行列A」リストボックスでM1を選択し、「連立1次方程式(A)の解法」ボタンを押すと、「連立1次方程式(M1)の解法」ウィンドウに解が分かるように表示される。
さらに、「表示」メニューから「解の表示」を選ぶと、
となり、固有値$1$に属する固有ベクトルは $\alpha \left( \begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right)$ となる。
同様に、固有値$2$に属する固有ベクトルは、係数行列が上記の固有多項式 $f_A(\lambda)$の行列式の部分（$\lambda = 2$とおく）である、次の同次連立方程式の解である。
\[ \left\{ \begin{array}{c} 2x_1& & +2x_3& = 0 \\ x_1& & + x_3& = 0 \\ -x_1& & -x_3& = 0 \end{array} \right. \]必要ならば、「行列の新規作成」ボタンを押し、サイズを3行4列に変更し、この行列を作成する。（ここではM3という名前がついている。）
「行列の演算」ウィンドウに戻り、「行列A」リストボックスでM3を選択し、「連立1次方程式(A)の解法」ボタンを押すと、「連立1次方程式(M3)の解法」ウィンドウに解が分かるように表示される。
さらに、「表示」メニューから「解の表示」を選ぶと、
となり、固有値$2$に属する固有ベクトルは $\beta \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) +\gamma \left( \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)$ となる。